Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại A,AB = a,BC = 2a, mặt bên ACC'A' là hình vuông.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(P',M'\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'C'.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}P'M//BC\\P'M \not\subset \left( {BCC'B'} \right)\\BC \subset \left( {BCC'B'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P'M//\left( {BCC'B'} \right)\left( 1 \right)\)

Tương tự ta chứng minh được \(M'M//\left( {BCC'B'} \right)\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\left( {PP'MM'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {PP'MM'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\\PM \subset \left( {PP'MM'} \right)\\HN \subset \left( {BCC'B'} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow d\left( {HN;PM} \right) = d\left( {\left( {PP'MM'} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\)

Trong tam giác vuông \(ABC\) có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 \)

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MP\) và \(HN\) là \(d\left( {MP;HN} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án A