Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc (-10;10) để phương trình log(mx+1)/log(x+1)=2 có nghiệm

Câu hỏi :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để phương trình \(\frac{{\log \left( {mx + 1} \right)}}{{\log \left( {x + 1} \right)}} = 2\) có nghiệm thực duy nhất? 

A. 15.

B. 10.

C. 16.

D. 11.

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x >- 1;x \ne 0.\)

Phương trình tương đương \(\log \left( {mx} \right) = \log {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow mx = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow m = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x}.\)

Xét hàm số \[f(x) = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x}\]trên \[( - 1; + \infty )\] ta có:

\[f'(x) = (x + 2 + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\]

f'(x)=0<=>[x=1x=1

Ta có bảng biến thiên sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để phương trình \(\frac{{\log \left( {mx + 1} \right)}}{{\log \left( {x + 1} \right)}} = 2\) có nghiệm thực duy nhất?  (ảnh 1)

Dựa vào BBT, ta thấy TCBT [m=4m<0mm[10;10]m{9;8;...;1;4} có 10 giá trị \(m\) nguyên.

Đáp án B

Copyright © 2021 HOCTAP247