Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AA' = a. Khoảng cách giữa AB' và C' bằng a căn 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(BB'//CC' \Rightarrow CC'//\left( {ABB'} \right)\) hay \(CC'//\left( {ABB'A'} \right).\)

Do đó \(d\left( {AB',CC'} \right) = d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).\)

Kẻ \(CH \bot AB\) tại \(H.\)

Ta có \(CH \bot AB\) và $CH\perp BB\text{'}$ nên \(CH \bot \left( {ABB'A'} \right).\)

Do đó \(d\left( {AB',CC'} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH = a\sqrt 3 .\)

Trong tam giác \(ABC\) có $H{B}^2+H{C}^2=B{C}^2\iff \frac{B{C}^2}{4}+3a^2=B{C}^2\iff BC=2a.$

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = AA'.\frac{1}{2}BA.BC.\sin {60^0} = a.\frac{1}{2}.2a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^3}\sqrt 3 .\)

Đáp án B