Gọi S là tập các giá trị m nguyên m để phương trình 9(căn 10 +3)^x+(căn 10 -3^x)-m +2020=0 có đúng hai nghiệm

* Hướng dẫn giải

Do \({\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^x}.{\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^x} = 1\) nên:

Đặt \({\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^x} = t\) với \(t >0 \Rightarrow {\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^x} = \frac{1}{t},\) ta có phương trình

\(9t + \frac{1}{t} - m + 2020 = 0 \Leftrightarrow m = 9t + \frac{1}{t} + 2020{\rm{ }}\left( * \right).\)

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm \(t \in \left( {0;1} \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 9t + \frac{1}{t} + 2020 \Rightarrow f'\left( t \right) = 9 - \frac{1}{{{t^2}}}.\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{3}.\)

Bảng biến thiên:

Do đó, \(m \in \left( {2026;2029} \right).\) Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow S = \left\{ {2027;2028;2029} \right\}.\)