Số nghiệm của phương trình e^(x^2/2+x-2020) = ln(x^2+2) +x^2/2 - x +2018 là

* Hướng dẫn giải

\({e^{\frac{{{x^2}}}{2} + x - 2020}} = \ln \left( {{x^2} - 2} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x + 2018{\rm{ }}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {e^{\frac{{{x^2}}}{2} + x - 2020}} + \frac{{{x^2}}}{2} + x - 2020 = \ln \left( {{x^2} - 2} \right) + {x^2} - 2\)

\( \Leftrightarrow {e^{\frac{{{x^2}}}{2} + x - 2020}} + \frac{{{x^2}}}{2} + x - 2020 = {e^{\ln \left( {{x^2} - 2} \right)}} + {x^2} - 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {e^t} + t,t \in \mathbb{R}\)

Ta có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 >0,\forall t \in \mathbb{R}.\) Do đó \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x - 2020} \right) = f\left( {\ln \left( {{x^2} - 2} \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{2} + x - 2020 = \ln \left( {{x^2} - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{2} - x - 2020 - \ln \left( {{x^2} - 2} \right) = 0{\rm{ }}\left( 3 \right)\)

Xét hàm số:

\(g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + x - 2020 - \ln \left( {{x^2} - 2} \right),\left[ \begin{array}{l}x >\sqrt 2 \\x < - \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) = x + 1 - \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{x^3} + {x^2} - 4x - 2}}{{{x^2} - 2}}\)

Xét \(h\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 4x - 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có:

\(h\left( { - 3} \right) = - 8;h\left( { - 2} \right) = 2;h\left( { - 1} \right) = 2;h\left( 0 \right) = - 2;h\left( {\sqrt 3 } \right) = 1 - \sqrt 3 ;h\left( 2 \right) = 2\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}h\left( { - 3} \right).h\left( { - 2} \right) < 0\\h\left( { - 1} \right).h\left( 0 \right) < 0\\h\left( {\sqrt 3 } \right).h\left( 2 \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a \in \left( { - 3; - 2} \right)\\x = b \in \left( { - 1;0} \right)\\x = c \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\end{array} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ - }} g\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} g\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty \)

Bảng biến thiên hàm số \(g\left( x \right)\)

Với \[\] suy ra \(g\left( a \right) < g\left( { - 3} \right) = \frac{9}{2} - 3 - 2020 - \ln 7 < 0\)

Với \(c \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\) suy ra \(g\left( c \right) < g\left( {\sqrt 3 } \right) = \frac{3}{2} + \sqrt 3 - 2020 < 0\)

Do đó phương trình \(\left( 3 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án A