Cho số tự nhiên n thỏa mãn nC0 + nC1 + nC2 = 11. Số hạng chứa x^7 trong khai triển (x^3-+1/x^2)^n bằng

* Hướng dẫn giải

Với \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}*\) ta có:

$C_n^0+C_n^1+C_n^2=11\iff \frac{n!}{0!.(n-0)!}+\frac{n!}{1!.(n-1)!}+\frac{n!}{2!.(n-2)!}=11$

$\iff n+\frac{n(n-1)}{2}=10\iff n^2+n-20=0\iff [\begin{array}{l}n=-5\\ n=4\end{array}\stackrel{(*)}{\to }n=4$

\(n = 4 \Rightarrow {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n} = {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4}\)

\({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k.{{\left( {{x^3}} \right)}^{4 - k}}.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^k}}} = } \sum\limits_{k = 0}^4 {{{\left( { - 1} \right)}^k}.C_4^k.{x^{12 - 5k}}\left( {0 \le k \le 4,k \in \mathbb{N}} \right)} \)

Số hạng tổng quát \({\left( { - 1} \right)^k}C_4^k.{x^{12 - 5k}}\)

Phải có \({x^{12 - 5k}} = {x^7} \Rightarrow 12 - 5k = 7 \Leftrightarrow k = 1.\)

Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển là: \({\left( { - 1} \right)^1}C_4^1.{x^7} = - 4{x^7}.\)

Đáp án D