Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y=|3x^4-8x^3-6x^2+24x-m| có 7 điểm cực trị. Tính tổng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(g\left( x \right) = 3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x - m.\) Ta có số điểm cực trị của hàm số

\(y = \left| {3{x^4} - 8{x^3} + 24x - m} \right|\) bằng \(a + b.\) Với là số điểm cực trị của hàm \(g\left( x \right)\) và \(b\) là số nghiệm đơn (bội lẻ) của phương trình \(g\left( x \right) = 0.\)

Xét hàm số $g\left(x\right)=3x^4-8x^3-6x^2+24x-m$ ta có

\(g'\left( x \right) = 12{x^3} - 24{x^2} - 12x + 24 = 12\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\) suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

Xét phương trình

\(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = 3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x - m = 0 \Leftrightarrow 3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x = m.\) Đồ thị hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có 7 điểm cực trị khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có đúng 4 nghiệm phân biệt tương đương với hai đồ thị hàm số \(y = 3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x\) và \(y = m\) có 4 giao điểm phân biệt.

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {9,10,11,12} \right\}.\) Vậy tổng các giá trị của tham số \(m\) là

\(S = 9 + 10 + 11 + 12 = 42.\)

Đáp án A