Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y= x^2+2x+m-4 trên đoạn (2;1) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của m là

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2+2x+m-4$ trên đoạn $\left[-2;1\right].$ Ta có $f\text{'}\left(x\right)=2x+2=0\iff x=-1.$

Ta có $f\left(-2\right)=m-\mathrm{4,}f\left(1\right)=m-1$ và $f\left(-1\right)=m-5.$

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là $\max \left\{\left|m-4\right|,\left|m-1\right|,\left|m-5\right|\right\}.$

Ta thấy $m-5<m-4<m-1$ nên $\left|m-4\right|<\max \left\{\left|m-1\right|,\left|m-5\right|\right\}.$ Do đó

$\max \left\{\left|m-4\right|,\left|m-1\right|,\left|m-5\right|\right\}=\max \left\{\left|m-1\right|,\left|m-5\right|\right\}$.

Đặt $A=m-1=\left(m-3\right)+2$ và $m=m-5=\left(m-3\right)-2.$

      *$m-3>0\Rightarrow \max \left\{\left|A\right|,\left|B\right|\right\}\ge \left|A\right|>2.$

      * $m-3<0\Rightarrow \max \left\{\left|A\right|,\left|B\right|\right\}\left|B\right|>2.$

      * $m-3=0\Rightarrow \max \left\{\left|A\right|,\left|B\right|\right\}=\left|A\right|=\left|B\right|=2.$

Vậy để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì $m=3.$

Chọn đáp án D.