Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Tìm hình chiếu của đường thẳng trên

Đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;1\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;2;0\right).$

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\Rightarrow d//\left(P\right).$

Do đó, nếu $d\text{'}$ là hình chiếu của $d$ trên $\left(P\right)$ thì $d\text{'}//d$.

Gọi $M\text{'}$ là hình chiếu của $M\left(1;0;2\right)$ trên $\left(P\right)\Rightarrow M\text{'}\in d\text{'}.$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left(P\right)\Rightarrow M\text{'}=\Delta \cap \left(P\right).$

Vì $\Delta \perp \left(P\right)$ nên $\Delta$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;2;0\right).$

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left(1;0;2\right)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;2;0\right)$ là

                                                   $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=2\end{array}\right..$

$M\text{'}=\Delta \cap \left(P\right)\Rightarrow$ tọa độ điểm $M\text{'}$ thỏa mãn hệ:

      $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=2\\ x+2y+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=2\\ \left(1+t\right)+2.2t+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{5}\\ y=-\frac{4}{5}\\ z=2\\ t=-\frac{2}{5}\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}\left(\frac{3}{5};-\frac{4}{5};2\right).$

Hình chiếu $d\text{'}$ song song với $d$ và đi qua $M\text{'}\left(\frac{3}{5};-\frac{4}{5};2\right)$ có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{5}+2t\\ y=-\frac{4}{5}-t\\ z=2+t\end{array}\right..$

Chọn đáp án C.