Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn có phương trình với (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của bằng

Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là $x=\pm 1.$ Do đó diện tích cần tìm là

$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{3}{x}^2\right)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{3}{x}^{2}dx=I-\frac{2\sqrt{3}}{3},$ với $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx$

Để tính $I$ đặt $x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt.$

Nên $I=\underset{-\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}4{\cos }^{2}tdt=\left(2t-\sin 2t\right)\left|\begin{array}{l}\frac{\pi }{6}\\ -\frac{\pi }{6}\end{array}\right.=\frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}.$

Do đó $S=\frac{2\pi +\sqrt{3}}{3}.$

Chọn đáp án D.