Cho số phức thỏa mãn điều kiện Giá trị nhỏ nhất của biểu thức được viết dưới dạng với là các hữu tỉ. Giá trị của là

Cách 2.

* Gọi $z=x+yi,\left(x,y\in ℝ\right).$ Từ giả thiết $\left|z+2\right|=\left|z+2i\right|,$ dẫn đến $y=x.$ Khi đó $z=x+xi.$

* $P=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2}+\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+{\left(x-4\right)}^2}+\sqrt{{\left(x-5\right)}^2+{\left(x-6\right)}^2}.$

* Sử dụng bất đẳng thức

                                                   $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{{\left(a+c\right)}^2+{\left(b+d\right)}^2}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}.$ Ta có

$\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2}+\sqrt{{\left(x-5\right)}^2+{\left(x-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2}+\sqrt{{\left(5-x\right)}^2+{\left(6-x\right)}^2}$

$\ge \sqrt{{\left(x-1+6-x\right)}^2+{\left(x-2+5-x\right)}^2}$

                  $\ge \sqrt{34}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{x-1}{6-x}=\frac{x-2}{5-x}\iff x=\frac{7}{2}.$

* Mặt khác

  $\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+{\left(x-4\right)}^2}=\sqrt{2x^2-14x+25}=\sqrt{2}\sqrt{{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Dấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{7}{2}.$

* Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của $\left(P\right)$ là $\frac{1+2\sqrt{17}}{\sqrt{2}}$. Khi đó $a+b=3.$

Chọn đáp án A.