Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của và là trung điểm của Biết góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Tính cô-sin của góc giữa đường thẳng và m

$HB=HC$ nên tam giác $HBC$ cân tại $H,$ suy ra $HM\perp BC$.

Trong mặt phẳng $\left(ABC\right)$ dựng $AK\perp HC\Rightarrow HC\perp \left(SAK\right).$

Mà góc giữa mặt phẳng $\left(SHC\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng ${60}^0$ nên $\widehat{SKA}={60}^0.$

Giả sử $BC=a.$

$\Rightarrow BM=\frac{a}{2}\Rightarrow AH=HM=BM.\tan {30}^0=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow AK=AH.\sin {60}^0=\frac{a}{4}\Rightarrow SA=AK.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Trang bị hệ trục tọa độ $Axyz$ với $A\left(0;0;0\right),S\left(0;0;\frac{\sqrt{3}}{4}\right),H\left(\frac{\sqrt{3}}{6};0;0\right),C\left(\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{2};0\right),B\left(\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{-1}{2};0\right).$

$\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\left(\frac{\sqrt{3}}{6};0;\frac{-\sqrt{3}}{4}\right),\overrightarrow{HC}=\left(\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2};0\right),\overrightarrow{BC}=\left(0;1;0\right).$

Từ đó suy ra mặt phẳng $\left(SHC\right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left(3\sqrt{3};-3;2\sqrt{3}\right)$ là véc-tơ pháp tuyến.

Ta có $\sin \left(BC,\left(SHC\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{BC}\right)\right|=\left|\frac{-3}{\sqrt{48}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \left(BC,\left(SHC\right)\right)=\frac{\sqrt{13}}{4}.$

Chọn đáp án C.