Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=căn(6-x) + căn(x-4)+ căn((6-x)&(x-4)) là M,m

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D = 4 \le x \le 6.\)

Đặt \(t = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x - 4} \Rightarrow \frac{{{t^2}}}{2} - 1 = \sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x - 4} \right)} .\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x - 4} \) với \(4 \le x \le 6.\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {6 - x} - \sqrt {x - 4} = 0 \Leftrightarrow x = 5.\)

Bảng biến thiên

Hàm số đã cho trở thành \(y = f\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{2} + t - 1\) với \(t \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right].\)Khi đó \(y' = t + 1.\) Suy ra \(y' = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \notin \left[ {\sqrt 2 ;2} \right].\)

Ta có: \(f\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 ;f\left( 2 \right) = 3.\) Suy ra \(M = 3,m = \sqrt 2 .\)

Vậy \(M + m = 3 + \sqrt 2 .\)

Đáp án D