Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O\) là trung điểm \(BD'.\)

Gọi \(E,F\) là tâm hình vuông \(ABB'A'\) và \(DCC'D'.\)

Giả sử thiết diện qua \(BD'\) và cắt \[AD\] trung điểm \(M\) của \(AD.\)

Trong \(\left( {ADC'B'} \right)\) gọi \(N = B'C' \cap OM \Rightarrow N\) là trung điểm \(B'C'.\)

\( \Rightarrow MN = AB' = BC' = \sqrt 2 .\)

Tứ giác \(BMD'N\) là hình thoi \(\left( {MB = MD' = NB = ND' = \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right).\)

\({S_{BMD'N}} = \frac{1}{2}MN.BD' = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)

Ta chứng minh \(M\) là trung điểm của \(AD\) thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.

Lấy \(M'\) bất kỳ trên \(AD.\) Kẻ \(M'H \bot EF,M'K \bot BD'.\)

Tứ giác \(MM'HO\) là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M'H = MO\\M'H//MO\end{array} \right..\)

Mà \(MO \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow M'H \bot \left( {A'BCD'} \right).\)

\(\Delta M'HK\) vuông tại \(H \Rightarrow M'K \ge M'H = MO\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{S_{BM'D'N'}} = 2{S_{\Delta M'BD'}} = 2.\frac{1}{2}M'K.BD' = \sqrt 3 M'K\\{S_{BMD'N}} = 2{S_{\Delta MBD}} = 2.\frac{1}{2}MO.BD' = \sqrt 3 MO\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{BM'D'N'}} \ge {S_{BMD'N}}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M' \equiv M.\)

Đáp án B.