Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều và A'A = A'B = A'C. Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc

* Hướng dẫn giải

* Gọi \(H\) là trung điểm \(BC,O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Vì \(A'A = A'B = A'C\) nên hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(O\) hay \(A'O \bot \left( {ABC} \right).\)

Gọi \(E\) là điểm sao cho \(BCAE\) là hình bình hành.

\( \Leftrightarrow d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {\left( {AA'E} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {AA'E} \right)} \right).\)

* Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(AA'.\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}A'O \bot AE\\A'O \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AA'O} \right) \bot AE \Rightarrow OK \bot AE\)

\( \Rightarrow OK \bot \left( {AA'E} \right).\)

* Ta có: \(\frac{{d\left( {O;\left( {A'AE} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {A'AE} \right)} \right)}} = \frac{{OK}}{{d\left( {H;\left( {A'AE} \right)} \right)}} = \frac{{AO}}{{AH}} = \frac{2}{3} \Rightarrow OK = \frac{2}{3}.\)

* Góc giữa \(AA'\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(AA'\) và \(AO\) bằng \({60^0}.\)

\( \Rightarrow AO = \frac{{OK}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{4}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow AB = \frac{4}{3}.\)

* \(A'O = AO.\tan {60^0} = \frac{4}{3}.\)

Vậy \(V = A'O.{S_{ABC}} = \frac{4}{3}.\frac{{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16\sqrt 3 }}{{27}}.\)

Đáp án B.