Giá trị của tổng S = 3C3 + 4C3 + ... + 100C3 bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\[\begin{array}{l}C_3^3 + C_4^3 + C_5^3 + .... + C_{100}^3\\ = \frac{{3!}}{{3!.0!}} + \frac{{4!}}{{3!.1!}} + \frac{{5!}}{{3!.2!}} + .... + \frac{{100!}}{{3!.97!}}\\ = \frac{1}{{3!}}.(1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + .... + 98.99.100)\end{array}\]

Chứng minh bằng quy nạp ta được: \[1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = \frac{{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}}{4}\]

Áp dụng vào ta có: \[C_3^3 + C_4^3 + C_5^3 + .... + C_{100}^3 = \frac{1}{{3!}}.\frac{{98.99.100.101}}{4} = \frac{{101!}}{{4!.97!}} = C_{101}^4\]

Đáp án A