Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB = a sqrt 3 ,BC = 2a, đường thẳng

* Hướng dẫn giải

Ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Ta có \(\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {AC',HC'} \right) = \widehat {AC'H} \Rightarrow \widehat {AC'H} = {30^0} \Rightarrow AC' = 2AH = a\sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}} = a\sqrt 2 .\)

Gọi \(O,O',I\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C',OO' \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngại tiếp lăng trụ.

\( \Rightarrow R = AI = \sqrt {A{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{CC'}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)

Vậy diện tích mặt cầu là \(4.\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = 6\pi {a^2}.\)

Đáp án D