Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = DC = a,AB = 2a. Hai mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB,\) dễ thấy \(ADCM\) là hình vuông \( \Rightarrow MC = AM = \frac{1}{2}AB\)

\( \Rightarrow \Delta ACB\) là tam giác vuông tại \(C\)

Gọi \(N\) đối xứng với \(C\) qua \(M \Rightarrow ACBN\) là hình chữ nhật

\(AC//BN \Rightarrow AC//\left( {SBN} \right) \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABN}}}}{{{S_{\Delta SBN}}}}.\)

Tính \({V_{S.ABN}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABN}} = \frac{1}{6}SA.AN.NB = \frac{1}{6}SA.BC.AC\)

\(SA = AC.\tan {60^0} = a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6 ;BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 2 \)

Như vậy: \({V_{S.ABN}} = \frac{1}{6}.a\sqrt 6 .a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có: \(SN = \sqrt {S{A^2} + A{N^2}} = \sqrt {6{a^2} + 2{a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

Xét \(\Delta SBN\) vuông tại \(N,\left( {BN \bot AN;BN \bot SA \Rightarrow BN \bot SN} \right)\)

Ta có: \({S_{SBN}} = \frac{1}{2}SN.NB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 a.a\sqrt 2 = 2{a^2}\)

Suy ra \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABN}}}}{{{S_{\Delta ABN}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}}}{{2{a^2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)

Đáp án C