Cho tập X = {1;2;3;...;8} . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ X. Lấy ngẫu nhiên một số từ A.

* Hướng dẫn giải

\(A\) là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ \(X = \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}\) nên \(A\) có số phần tử là 8! (số).

Giả sử lấy được từ tập \(A\) số có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) chia hết cho 2222 (với \({a_i} \in X,i = \overline {1,8} ).\)

Vì 2222 = 2.11.101 (2; 11; 101 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau) nên \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) là số chữ đồng thời chia hết cho 11 và 101.

Ta có: \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \vdots 11 \Rightarrow \left[ {\left( {{a_1} + {a_3} + {a_5} + {a_7}} \right) - \left( {{a_2} + {a_4} + {a_6} + {a_8}} \right)} \right] \vdots 11.\)

Mà \(\left( {{a_1} + {a_3} + {a_5} + {a_7}} \right) + \left( {{a_2} + {a_4} + {a_6} + {a_8}} \right) = 1 + 2 + ... + 8 = 36,{a_i} \in X,i = \overline {1,8} .\)

Suy ra \({a_1} + {a_3} + {a_5} + {a_7} = {a_2} + {a_4} + {a_6} + {a_8} = 18.\)

Lại có: \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \vdots 101 \Rightarrow {a_1} + {a_5} = {a_3} + {a_7} = {a_2} + {a_6} = {a_4} + {a_8} = 9.\)

Nhận thấy các cặp chữ số có tổng bằng 9 lấy được từ \(X\) là: \(\left\{ {1;8} \right\};\left\{ {2;7} \right\};\left\{ {3;6} \right\};\left\{ {4;5} \right\}.\)

Khi đó để lập được một số có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) chia hết cho 2222, ta thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:

+ Chọn 1 trong 4 cặp chữ số có tổng bằng 9: có 4 cách.

+ Xếp chữ số chẵn vào vị trí \({a_8}\) và chữ số lẻ vào vị trí \({a_4}:\) có 1 cách.

+ Chọn 1 trong 3 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 3 cách.

+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí \({a_1},{a_5}:\) có 2 cách.

+ Chọn 1 trong 2 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 2 cách.

+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí \({a_2},{a_6}:\) có 2 cách.

+ Cuối cùng xếp 2 chữ số của cặp còn lại vào vị trí \({a_3},{a_7}:\) có 2 cách.

Như vậy số các số cần tìm là \(4.1.3.2.2.2.2 = 192\) số.

Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một số từ \(A\)”.

Khi đó số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 8!.\)

Biến cố B. “Số lấy được chia hết cho 2222” \( \Rightarrow n\left( B \right) = 192.\)

Vậy xác suất để số lấy được chia hết cho 2222 là:\(P\left( A \right) = \frac{{192}}{{8!}}.\)

Đáp án B