Xét các số thực dương a,b thỏa mãn log9(a)=log12(b)=log15(a+b). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Phân tích: \(9 = {3^2}\)nhưng \(12;15\)không có số nào là số chính phương. Nên ta sẽ đặt ẩn phụ đưa về phương trình ở dạng :\({a^{f\left( x \right)}} + {b^{f\left( x \right)}} = {c^{f\left( x \right)}}\).

Đặt

\[{\log _9}a = \log {}_{12}b = \log {}_{15}\left( {a + b} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _9}a = t\\\log {}_{12}b = t\\\log {}_{15}\left( {a + b} \right) = t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}{\rm{ }}\left( 1 \right)\\b = {12^t}{\rm{ }}\left( 2 \right)\\a + b = {15^t}{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\].

Thế \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta được \({9^t} + {12^t} = {15^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ = 1 }}\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ }} \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{9}{{15}}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{{12}}{{15}} < 0,{\rm{ }}\forall t \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(f\left( 2 \right) = 1\) nên \(t = 2\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(\left( * \right)\).

Do \(t = 2\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 91\\b = 144\end{array} \right. \Rightarrow \frac{a}{b} \in \left( {0;2} \right)\).

Chọn đáp án C

</>