Cho phương trình (log5(x/5))^2 + (m+1)log5(5x) +6m-22=0 (m là tham số thực ). Có bao nhiêu giá trị nguyên

* Hướng dẫn giải

Ta có \[\log _5^2\frac{x}{5} + (m + 1){\log _5}5x - 6m - 22 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\log _5^{}x - 1} \right)^2} + (m + 1)\left( {{{\log }_5}x + 1} \right) - 6m - 22 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \log _5^{^2}x + (m - 1){\log _5}x - 5m - 20 = 0\]

$\iff \left[\begin{array}{c}{\log }_{5}x=5\\ {\log }_{5}x=-m-4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=5^5\in \left[\frac{1}{5};5^5\right]\\ {\log }_{5}x=-m-4\left(1\right)\end{array}\right.$

Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực thuộc đoạn $\left[\frac{1}{5};5^5\right]$   khi và chỉ khi (1) không có nghiệm thuộc đoạn $\left[\frac{1}{5};5^5\right)$  tức $\left\{\begin{array}{c}-m-4<-1\\ -m-4\ge 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>-3\\ m\le -9\end{array}\right.$  .

Vì 3 nguyên và $m\in \left[-2020;2020\right]$  nên có $m\in \left\{-2020;-2019;\mathrm{...};-9\right\}\cup \left\{-2;-1;\mathrm{...};2020\right\}$ .

Vậy có $2012+2023=4035$  giá trị nguyên của  m thỏa mãn bài toán.

Chọn đáp án C