Cho số phức z thỏa mãn |(1+i)z+1-3i|=3 căn bậc hai 2 . Giá trị lớn nhất

Cách 1
$\left|\left(1+i\right)z+1-3i\right|=3\sqrt{2}\iff \left|1+i\right|\left|z+\frac{1-3i}{1+i}\right|=3\sqrt{2}\iff \left|z-\left(1+2i\right)\right|=3\left(1\right)$.
Gọi $\overrightarrow{OM}=\left(x;y\right), \overrightarrow{OI}=\left(1;2\right)$ là vec-tơ biểu diễn cho các số phức $z=x+iy, \text{w}=1+2i$, .
Từ (1) có $\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OI}\right|=3\iff MI=3$.
Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm $I\left(1;2\right)$ bán kính $R=3$, $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^3=9$
Gọi $\overrightarrow{OA}=\left(-2;-1\right)$, $\overrightarrow{OB}=\left(2;3\right)$ lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức $a=-2-i$, $b=2+3i$.
Có $\overrightarrow{IA}=\left(-3;-3\right)$, $\overrightarrow{IB}=\left(1;1\right)$. Suy ra $\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{IB}\iff \overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.
Lúc đó $P=MA+\sqrt{6}MB=MA+\sqrt{2}.\sqrt{3}MB$$\le \sqrt{3\left(M{A}^2+3M{B}^2\right)}$.
Có $M{A}^2+3M{B}^2={\left(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}\right)}^2+3{\left(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM}\right)}^2=4I{M}^2+I{A}^2+3I{B}^2$.
Có $I{M}^2=9$, $I{A}^2=18$, $I{B}^2=2$, nên $M{A}^2+3M{B}^2=60$.
Suy ra $P\le \sqrt{3.60}=6\sqrt{5}$.
Có $P=6\sqrt{5}\iff \frac{MA}{1}=\frac{\sqrt{3}MB}{\sqrt{2}}$.
Vậy giá trị lớn nhất của P là $P=6\sqrt{5}$.

 

Cách 2.
Giả sử $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn của số phức z khi đó
$\left|\left(1+i\right)z+1-3i\right|=3\sqrt{2}\iff \left|x-y+1+\left(x+y-3\right)i\right|=3\sqrt{2}\iff x^2+y^2-2x-4y-4=0$

$\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a=x-1\\ b=y-2\end{array}\right.$Ta có $a^2+b^2=9$. Gọi $A=\left(-2;-1\right), B=\left(2;3\right)$
$P=\left|z+2+i\right|+\sqrt{6}\left|z-2-3i\right|=MA+\sqrt{6}MB=\sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2}+\sqrt{6\left[{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2\right]}$
$=\sqrt{{\left(a+3\right)}^2+{\left(b+3\right)}^2}+\sqrt{6\left[{\left(a-1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2\right]}=\sqrt{6\left(a+b\right)+27}+\sqrt{6}\sqrt{\left(-2\right)\left(a+b\right)+11}$
$=\sqrt{6\left(a+b\right)+27}+\sqrt{2}\sqrt{\left(-6\right)\left(a+b\right)+33}\le \sqrt{\left(1+2\right)\left(27+33\right)}=6\sqrt{5}$.

Chọn đáp án C