Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2;-2;4) , B(-3;3;-1) ,

* Hướng dẫn giải

Gọi I  là điểm thỏa mãn: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI}\right)+\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI}\right)-\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\left(1;0;4\right)$$\iff I\left(1;0;4\right)$

Khi đó, với mọi điểm $M\left(x;y;z\right)\in \left(P\right)$ , ta luôn có:

$T=2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2$.

$=2{\overrightarrow{MI}}^2+2\overrightarrow{MI}.\left(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}\right)+2{\overrightarrow{IA}}^2+{\overrightarrow{IB}}^2-{\overrightarrow{IC}}^2$

$=2M{I}^2+2I{A}^2+I{B}^2-I{C}^2$

Ta tính được $2I{A}^2+I{B}^2-I{C}^2=30$ .

Do đó, T  đạt GTNN $\iff MI$  đạt GTNN $\iff MI\perp \left(P\right)$ .

Lúc này, $IM=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.1-0+2.4+8\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=6$ .

Vậy $T_{\min }={2.6}^2+30=102$ .

Chọn đáp án C