Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C"D' có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

* Ta có: $C{C}^{\text{'}}\text{//}A{A}^{\text{'}}\Rightarrow C{C}^{\text{'}}\text{//}\left(A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B\right)$
Mà $A\text{'}B\subset \left(AA\text{'}B\text{'}B\right),$ nên
$d\left(CC\text{'};A\text{'}B\right)=d\left(CC\text{'};\left(AA\text{'}B\text{'}B\right)\right)=C\text{'}A\text{'}=a\sqrt{3}$
* Ta có: $AC=A\text{'}C\text{'}=a\sqrt{3};AB=A\text{'}B\text{'}=a;$
Diện tích đáy là $B=dt\left(ABC\right)=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$
* Dễ thấy $A\text{'}B\text{'}\text{\hspace{0.17em}⊥}\left(ACC\text{'}A\text{'}\right)$
Góc giữa $B\text{'}C$ và mặt phẳng $\left(ACC\text{'}A\text{'}\right)$ là $\widehat{B\text{'}CA\text{'}}=\alpha$
$\sin \alpha =\frac{A\text{'}B\text{'}}{B\text{'}C}=\frac{1}{2\sqrt{5}}\iff B\text{'}C=2a\sqrt{5}$
$CC\text{'}=\sqrt{B\text{'}{C}^2-B\text{'}C{\text{'}}^2}=\sqrt{20a^2-4a^2}=4a$
* Thể tích lăng trụ là $V=B.h$ với $h=CC\text{'}$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.4a=2a^3\sqrt{3}.$

Chọn đáp án B