Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(0;0;2) và B(3;4;1)

Từ $\left\{\begin{array}{l}\left(S_1\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=25\left(1\right)\\ \left(S_2\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (1)  trừ (2) , ta được $6z=0$  hay

$\left(P\right):z=0$ tức là $\left(P\right)\equiv \left(Oxy\right).$

Dễ thấy A , B  nằm khác phía đối với (P) , hình chiếu của A trên (P)  là O , hình chiếu của B  trên (P) là $H\left(3;4;0\right).$

Lấy A'  sao cho $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{MN}.$

Khi đó $AM+BN=A^{\text{'}}N+BN\ge A^{\text{'}}B$  và cực trị chỉ xảy ra khi $\overrightarrow{MN}$  cùng phương $\overrightarrow{OH}.$

Lấy $\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{OH}}{\left|\overrightarrow{OH}\right|}=\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5};0\right).$

Khi đó vì $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{MN}$ nên $A^{\text{'}}\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5};0\right).$Do đó $AM+BN=A^{\text{'}}N+BN\ge A^{\text{'}}B=5.$

Chọn đáp án C