Cho hàm số f liên tục trên ℝ và ∫01fxdx=6. Tính ∫01xfx2−x2fx3dx.

Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}f\left(x^3\right)dx=A-B.$

      * Tính $A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(x^2\right)dx.$

      Đặt $t=x^2\Rightarrow dt=2xdx.$ Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$ và $x=1\Rightarrow t=1.$

      Khi đó $A=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=3.$

      * Tính $A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}f\left(x^3\right)dx.$

      Đặt $t=x^3\Rightarrow dt=3x^{2}dx.$ Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$ và $x=1\Rightarrow t=1.$

      Khi đó $A=\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2.$

Vậy $I=A-B=3-2=1.$

Chọn đáp án B.