Có bao nhiêu số phứcz thỏa mãn z + 1 -3i = 3 căn bậc hai 2 và (z + 2i)^2 và là số thuần ảo?

Đặt $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right).$ Khi đó $\left|z+1-3i\right|=3\sqrt{2}\iff {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=18\left(1\right).$

${\left(z+2i\right)}^2={\left[x+\left(y+2\right)i\right]}^2=x^2-{\left(y+2\right)}^2+2x\left(y+2\right)i.$

Theo giả thiết ta có ${\left(z+2i\right)}^2$ là số thuần ảo nên $x^2-{\left(y+2\right)}^2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=y+2\\ x=-\left(y+2\right)\end{array}\right..$

Với $x=y+2$ thay vào $\left(1\right)$ ta được phương trình $2y^2=0\iff y=0\Rightarrow x=2\Rightarrow z_1=2.$

Với $x=-\left(y+2\right)$ thay vào $\left(1\right)$ ta được phương trình $2y^2-4y-8=0\iff \left[\begin{array}{l}y=1+\sqrt{5}\\ y=1-\sqrt{5}\end{array}\right.$.

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{z}_2=-3-\sqrt{5}+\left(1+\sqrt{5}\right)i\\ x_3=-3+\sqrt{5}+\left(1-\sqrt{5}\right)i\end{array}\right..$

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.