Trong các nghiệm x;y thỏa mãn bất phương trình logx2+2y22x+y≥1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T=2x+y bằng

TH1: $x^2+2y^2>1.$ Đặt $z=y\sqrt{2},$ suy ra $x^2+z^2>1\left(1\right).$ Khi đó:

${\log }_{x^2+2y^2}\left(2x+y\right)\ge 1\iff 2x+y\ge x^2+2y^2\iff 2x+\frac{z}{\sqrt{2}}\ge x^2+z^2\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(z-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^2\ge \frac{9}{8}\left(2\right).$

Tập hợp các điểm $M\left(x;y\right)$ là miền $\left(H\right)$ bao gồm miền ngoài của hình tròn $\left(C_1\right):x^2+z^2=1$ và miền trong của hình tròn $\left(C_2\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(z-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{9}{8}.$

Hệ$\left\{\begin{array}{l}T=2x+\frac{z}{\sqrt{2}}\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(z-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^2\ge \frac{9}{8}\\ x^2+z^2>1\end{array}\right.$ có nghiệm khi đường thẳng $d:2x+\frac{z}{\sqrt{2}}-T=0$ có điểm chung với miền $\left(H\right).$

Để $T$ đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng $d$ phải tiếp xúc với đường tròn $\left(C_2\right),$ nghĩa là ta có $d\left(I,d\right)=\frac{3}{2\sqrt{2}}$ $\iff \left|T-\frac{9}{4}\right|=\frac{9}{4}\iff T=\frac{9}{2}$ với $I\left(1;\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$ là tâm của đường tròn $\left(C_2\right)$.

TH2. $0<x^2+2y^2<1$ ta có

${\log }_{x^2+2y^2}\left(2x+y\right)\ge 1\iff 2x+y\le x^2+2y^2\iff T=2x+y<1$ (loại).

Vậy $\max T=\frac{9}{2}.$

Chọn đáp án B.