Cho số phức z thỏa mãn z−3−4i=5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+22−z−i2. Tính mô-đun của số phức w=M+mi.

Giả sử $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$

Theo đề bài ta có $\left|z-3-4i\right|=\sqrt{5}\iff {\left(a-3\right)}^2+{\left(b-4\right)}^2=5\left(1\right).$

Mặt khác $P={\left|z+2\right|}^2-{\left|z-i\right|}^2={\left(a+2\right)}^2+b^2-\left[a^2+{\left(b-1\right)}^2\right]=4a+2b+3\left(2\right).$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có $20a^2+\left(64-8P\right)a+P^2-22P+137=0\left(*\right).$

Phương trình $\left(*\right)$ có nghiệm khi $\Delta \text{'}=-4P^2+184P+-1716\ge 0\iff 13\le P\le 33\Rightarrow \left|\text{w}\right|=\sqrt{1258}.$

Chọn đáp án A.