Cho số phức z thay đổi thỏa mãn |z+1-i|=3 . Giá trị nhỏ nhất

Gọi $z=x+yi,\left(x,y\in ℝ\right)$.
Ta có:
$\left|z+1-i\right|=3\iff {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=9\left(C\right)$;
Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C), có tâm là $I\left(-1;1\right)$ và bán kính $R=3$.
Ta có:
$A=2\left|z-4+5i\right|+\left|z+1-7i\right|=2\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2}+\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2}$
$=2\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2}+\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2+3\left({\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2-9\right)}$
$=2\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2}+\sqrt{4x^2+8x+4y^2-20y+29}$
$=2\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2}+2\sqrt{x^2+2x+y^2-10y+\frac{29}{4}}$
$=2\left(\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2}+\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2}\right)$.

Gọi $M\left(x;y\right)\in \left(C\right)$.
$\Rightarrow A=2\left|z-4+5i\right|+\left|z+1-7i\right|=2MA+MB,A\left(4;-5\right);B\left(-1;7\right)$.
$\Rightarrow A=2MA+MB=2\left(MA+MC\right),C\left(-1;\frac{5}{2}\right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IC}=\left(0;\frac{3}{2}\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{IC}\right|=\frac{3}{2}<R_{\left(C\right)}$.
Suy ra, điểm C nằm trong đường tròn (C).
Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn (C) tại hai điểm.
Do đó, để $A=2\left(MA+MC\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì M phải nằm giữa hai điểm A và C.
$\Rightarrow A=2\left(MA+MC\right)\ge 2AC,AC=\frac{5\sqrt{13}}{2}$.
$\Rightarrow A\ge 5\sqrt{13}=a\sqrt{b}$.
Vậy, $a+b=18$.

Chọn đáp án B