Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(2;0;1) , B(3;1;5)

Vì mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $D\left(4;2;1\right)$ nên phương trình $\left(\alpha \right)$ có dạng:
$a.\left(x-4\right)+b.\left(y-2\right)+c.\left(z-1\right)=0$ (với $a^2+b^2+c^2>0$)
Đặt $S=d\left[A,\left(\alpha \right)\right]+d\left[B,\left(\alpha \right)\right]+d\left[C,\left(\alpha \right)\right]=\frac{\left|-2a-2b\right|+\left|-a-b+4c\right|+\left|-3a-c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
Theo giả thiết A, B, C, nằm cùng phía đối với $\left(\alpha \right)$ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
$\left\{\begin{array}{l}-2a-2b>0\\ -a-b+4c>0\\ -3a-c>0\end{array}\right.$.
Khi đó, $S=\frac{-2a-2b-a-b+4c-3a-c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{-6a-3b+3c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai bộ số $\left(-6;-3;3\right)$ và $\left(a;b;c\right)$, ta được:
$-6a-3b+3c\le \left|-6a-3b+3c\right|\le \sqrt{\left(6^2+3^2+3^2\right).\left(a^2+b^2+c^2\right)}$.
$\Rightarrow S\le 3\sqrt{6}$.
Đẳng thức xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}-6a-3b+3c\ge 0\\ \frac{a}{-6}=\frac{b}{-3}=\frac{c}{3}\end{array}\right.$. Ta chọn $\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-1\\ c=1\end{array}\right.$.
$\Rightarrow \left(\alpha \right):-2x-y+z+9=0$ hay $\left(\alpha \right):2x+y-z-9=0$.
$\Rightarrow m=1, n=-1, p=9$
Vậy $T=m+n+p=9$.

Chọn đáp án A