Cho hàm số y=f(x) có đạo hàmf'(x)=(x+1)^4(x-m)^5(x+3)^3 với mọi .

Do hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm với mọi $x\in ℝ$ nên $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R, do đó hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)$ liên tục trên R. Suy ra $g\left(0\right)=f\left(0\right)$ là một số hữu hạn.
Xét trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$: $g\left(x\right)=f\left(x\right)$
$g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)={\left(x+1\right)}^4{\left(x-m\right)}^5{\left(x+3\right)}^3$
$g\text{'}\left(x\right)=0\iff {\left(x-m\right)}^5=0\iff x=m$
- TH1: $m=0$ thì $x=0$. Khi đó $x=0$ là nghiệm bội lẻ của $g\text{'}\left(x\right)$ nên $g\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu một lần qua $x=0$ suy ra hàm số $g\left(x\right)$ có duy nhất một điểm cực trị là $x=0$.
- TH2: $m<0$ thì $g\text{'}\left(x\right)$ vô nghiệm, suy ra $g\text{'}\left(x\right)>0$ với mọi $x>0$
Hàm số $y=g\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)$ có duy nhất một điểm cực trị là $x=0$.
- TH 3: $m>0$ thì $x=m$ là nghiệm bội lẻ của $g\text{'}\left(x\right)$
Bảng biến thiên của hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)$

- Lại có $m\in [-5;5]$ và m nguyên nên $m\in \left\{1,2,3,4,5\right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m.

Chọn đáp án A