Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số y = x^3 + (3m-1)x^2 +m^2 -3 đạt cực tiểu tại

Chọn B

Kiến thức cần nhớ: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp một trên $\left(a;b\right)$ chứa điểm $x_0$ và$y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại $x_0$, khi đó:

+ Nếu $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0\end{array}\right.$thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0$.

+ Nếu $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)<0\end{array}\right.$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại điểm $x_0$.

Áp dụng ta có$y\text{'}=3x^2+2\left(3m-1\right)x+m^2;y\text{'}\text{'}=6x+2\left(3m-1\right)$.

Xét phương trình $y\text{'}\left(-1\right)=0\iff 3{\left(-1\right)}^2-2\left(3m-1\right)+m^2=0\iff m^2-6m+5=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=5\end{array}\right.$

Với $m=1\Rightarrow y\text{'}\text{'}=6x+4\Rightarrow y\text{'}\text{'}\left(-1\right)=-2<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1.$

Với $m=5\Rightarrow y\text{'}\text{'}=6x+28\Rightarrow y\text{'}\text{'}\left(-1\right)=22>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$

Vậy $m=5$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.