Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=12lnx2+4−mx+3 nghịch biến trên khoảng −∞;+∞.

* Hướng dẫn giải

Chọn A

Hàm số $y=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)-mx+3$ có tập xác định $D=\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{x}{x^2+4}-m$.

Khi đó hàm số $y=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)-mx+3$ nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$$\iff y\text{'}\le \mathrm{0,}\forall x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$

$\iff \frac{x}{x^2+4}-m\le \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff \frac{x}{x^2+4}\le m,\forall x\in ℝ\iff m\ge \underset{x\in ℝ}{ma\text{}x}f\left(x\right)$với $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+4}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+4}$ ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{4-x^2}{{\left(x^2+4\right)}^2}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=\pm 2$.

BBT

Từ BBT ta suy ra: $\underset{x\in ℝ}{ma\text{}x}f\left(x\right)=f\left(2\right)=\frac{1}{4}$. Suy ra các giá trị của tham số $m$cần tìm là: $m\ge \frac{1}{4}$