Trong không gian Oxyz, cho điểm M1;1;1. Mặt phẳng P đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm Aa;0;0,B0;b;0,C0;0;c thỏa mãn OA=2OB và thể tích khối tứ...

Chọn D

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Vì $\left(P\right)$ đi qua $M$ nên $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1.$

Mặt khác $OA=2OB$ nên $a=2b$ nên $\frac{3}{2b}+\frac{1}{c}=1.$

Thể tích khối tứ diện OABC là $V=\frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}{b}^{2}c.$

Ta có $\frac{3}{2b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{4b}+\frac{3}{4b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}}\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}}\le \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{16b^{2}c}{9}\ge 27\Rightarrow V=\frac{b^{2}c}{3}\ge \frac{81}{16}.$

$\Rightarrow \min V=\frac{81}{16}$  khi  $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{4b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{3}\\ a=2b\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\frac{9}{2}\\ b=\frac{9}{4}\\ c=3\end{array}\right..$

Vậy $S=2a+b+3c=\frac{81}{4}.$