Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2−2a−4b=4. Tính P=a+2b+3c khi biểu thức 2a+b−2c+7 đạt giá trị lớn nhất.

Cách 2: phương pháp hình học.

Trong không gian $Oxyz$, gọi mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(1;2;0\right)$, bán kính $R=3$. Khi đó:

và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-2z+7=0$.

Gọi $M\left(a;b;c\right)$, ta có:$d\left(M;\left(P\right)\right)=\frac{\left|2a+b-2c+7\right|}{3}$.

Vì $a^2+b^2+c^2-2a-4b=4\Rightarrow M\in \left(S\right)$.

Bài toán đã cho trở thành: Tìm $M\in \left(S\right)$ sao cho $d\left(M;\left(P\right)\right)$ lớn nhất.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc $\left(P\right)$$\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-2t\end{array}\right.$.

Điểm $M$ cần tìm chính là 1 trong 2 giao điểm của $\Delta$ với $\left(S\right):M_1\left(3;3;-2\right),M_2\left(-1;1;2\right)$.

Ta có: $d\left(M_1;\left(P\right)\right)=\frac{20}{3}>d\left(M_2;\left(P\right)\right)=\frac{2}{3}\Rightarrow Maxd\left(M;\left(P\right)\right)=\frac{20}{3}\iff M\equiv M_1$.

Vậy $P=a+2b+3c=3+2.3+3.\left(-2\right)=3.$