Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y+1=2x−2+y+3.Giá trị lớn nhất của biểu thức S=3x+y−4+x+y+127−x−y−3x2+y2 là ab với a,b là các số nguyên dương và ab tối giản. Tính a+b.

Chọn D

Chú ý với hai căn thức ta có đánh giá sau:$\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2\left(a+b\right)}$.

Vậy theo giả thiết,ta có $x+y+1=2\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}\right)\ge 2\sqrt{x+y+1}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x+y+1=0\\ x+y+1\ge 4\end{array}\right.$

Và $x+y+1=2\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}\right)\le 2\sqrt{2\left(x+y+1\right)}\Rightarrow x+y+1\le 8$.

 Nếu $x+y+1=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-3\end{array}\right.\Rightarrow S=-\frac{9476}{243}$.

 Nếu $t=x+y\in \left[3;7\right]$,ta có

$x^2\ge 2x\left(x\ge 2\right);{\left(y-1\right)}^2\ge 0\Rightarrow y^2\ge 2y-1\Rightarrow x^2+y^2\ge 2\left(x+y\right)-1$.

Vì vậy $S\le 3^{x+y-4}+\left(x+y+1\right)2^{7-x-y}-6\left(x+y\right)+3$