. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng

Đáp án A

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm BC. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}A\text{'}H\perp BC\\ AI\perp BC\\ A\text{'}H\cap AI=\left\{H\right\}\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(A\text{'}AI\right)\Rightarrow BC\perp AA\text{'}$.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên AA’. Khi đó IK là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC nên $IK=d\left(AA\text{'},BC\right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Xét tam giác vuông AIK vuông tại K có:$IK=\frac{a\sqrt{3}}{4},AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IK=\frac{1}{2}AI\Rightarrow \widehat{KAI}=30°$ .

Xét tam giác vuông AA’H vuông tại H có: $A\text{'}H=AH.\tan 30°=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{3}$.

Vậy $V_{ABCA\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.