Trong không gian, cho hai điểm A, B cố định có độ dài AB bằng 6.

Đáp án A

Cách 1:

Ta có: $MA=\sqrt{2}MB\iff {\overline{MA}}^2=2{\overline{MB}}^2\iff {\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2=2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2\iff M{I}^2=I{A}^2-2I{B}^2-2\overrightarrow{MI}\left(2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA}\right)$.

Gọi I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\iff \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}$ nên $IB=6;IA=12$.

Suy ra $M{I}^2=I{A}^2-2I{B}^2\iff M{I}^2={12}^2-{2.6}^2\iff M{I}^2=72\Rightarrow MI=6\sqrt{2}$ suy ra $M\in S\left(I;6\sqrt{2}\right)$.

Cách 2: Gọi $A=\left(0;0;0\right),B=\left(0;0;6\right),M=\left(x;y;z\right)$.

Ta có: $MA=\sqrt{2}MB\iff M{A}^2=2M{B}^2\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2\left[x^2+y^2+{\left(z-6\right)}^2\right]\Rightarrow x^2+y^2+z^2-2.12z+72=0$.

Do đó M thuộc mặt cầu S có tâm $I\left(0;0;12\right)$, bán kính $R=\sqrt{0^2+0^2+{12}^2-72}\Rightarrow R=6\sqrt{2}$.