Cho phương trình 2log33x−3log3x=m−1 (với m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình trên có nghiệm?

Đáp án B

Ta có phương trình $\iff 2\sqrt{1+{\log }_{3}x}-3{\log }_{3}x+1=m$.

Đặt $t=\sqrt{1+{\log }_{3}x}\Rightarrow {\log }_{3}x=t^2-1\left(t\ge 0\right)$.

Khi đó ta có: $2t-3\left(t^2-1\right)+1=m\iff -3t^2+2t+4=m$.

Xét hàm số $f\left(t\right)=-3t^2+2t+4$ với $t\ge 0$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=-6t+2=0\iff t=\frac{1}{3}$.

Mặt khác $f\left(0\right)=\mathrm{4,}f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{13}{3},\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

Dựa vào BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\le 4$.

Kết hợp điều kiện bài toán suy ra $m=\left\{1;2;3;4\right\}$.