Biết rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=căn bậc hai ln^2x+4lnx/x

Đáp án D

Xét $\int \frac{\sqrt{{\ln }^{2}x+4}.\ln x}{x}dx$.

Đặt $t=\sqrt{{\ln }^{2}x+4}\Rightarrow t^2={\ln }^{2}x+4\Rightarrow tdt=\frac{\ln x}{x}dx$.

Khi đó $\int \frac{\sqrt{{\ln }^{2}x+4}.\ln x}{x}dx=\int t^{2}dt=\frac{t^3}{3}+C=\frac{{\left(\sqrt{{\ln }^{2}x+4}\right)}^3}{3}+C\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{{\left(\sqrt{{\ln }^{2}x+4}\right)}^3}{3}+C$.

Theo giả thiết $F\left(1\right)=\frac{8}{3}\iff \frac{8}{3}+C=\frac{8}{3}\iff C=0$.

Suy ra $F\left(x\right)=\frac{{\left(\sqrt{{\ln }^{2}x+4}\right)}^3}{3}\Rightarrow {\left[F\left(e\right)\right]}^2=\frac{125}{9}$.