Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z+i|=|z ngang +2+i| : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đáp án C

Giả sử $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ và $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn của số phức z.

Ta có: $\begin{array}{l}\left|z+i\right|=\left|\overline{z}+2+i\right|\iff \left|x+\left(y+1\right)i\right|=\left|x+2-\left(y-1\right)i\right|\\ \iff x^2+{\left(y+1\right)}^2={\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2\iff x-y+1=0\left(\Delta \right)\end{array}$

Mặt khác $P=\left|\left(i-1\right)z+4-2i\right|=\left|\left(i-1\right)\right|\left|z+\frac{4-2i}{i-1}\right|=\sqrt{2}\left|z-3-i\right|=\sqrt{2}\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{2}MA$, với $A\left(3;1\right)$ và $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn z.

Bài toán trở thành tìm điểm M trên đường thẳng $\Delta$ để khoảng cách MA ngắn nhất.

Ta thấy $P_{\min }=\sqrt{2}.d\left(A,\Delta \right)=\sqrt{2}.\frac{\left|3-1+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3$.

Đẳng thức xảy ra khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng $∆$ hay $M\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$.

$\Rightarrow z=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$.