Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau

: Đáp án A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$.

Ta có $\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}=30°$ (theo giả thiết) nên các tam giác vuông SHA, SHB, SHC bằng nhau. Suy ra $HA=HB=HC\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $S_{\Delta ABC}=10\sqrt{3}$.

Áp dụng công thức Hê-rông ta có: $S_{\Delta ABC}=10\sqrt{3}$.                              

Mặt khác $S_{\Delta ABC}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{3}}{3}\Rightarrow HB=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác vuông SHB có $SH=HB.\tan 30°=\frac{7}{3},SB=\frac{HB}{\cos 30°}=\frac{14}{3}$.

Suy ra $V_{S.ABC}=\frac{1}{2}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{70\sqrt{3}}{9}$.

Áp dụng công thức Hê-rông ta có:$S_{\Delta SBC}=\frac{8\sqrt{13}}{3}$.

Do đó: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.d.S_{\Delta SBC}\Rightarrow d=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{3.\frac{70\sqrt{3}}{9}}{\frac{8\sqrt{13}}{3}}=\frac{35\sqrt{39}}{52}$.