Cho các hàm số f(x)g, (x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

Đáp án C

Từ giả thiết $m.f\left(x\right)+n.f\left(1-x\right)=g\left(x\right)$, lấy tích phân hai vế ta được:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[m.f\left(x\right)+n.f\left(1-x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}m.f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}n.f\left(1-x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Suy ra $m+n\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(1-x\right)dx=1$ (do $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=1$) (1)

Xét tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(1-x\right)dx$.

Đặt $t=1-x$, suy ra $dt=-dx$.

Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=1\\ x=1\Rightarrow t=0\end{array}\right..$

Khi đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(1-x\right)dx=-\underset{1}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=1\left(2\right)$.      

Từ (1) và (2), suy ra $m+n=1$.