Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho

* Hướng dẫn giải

: Đáp án A

Trong mặt phẳng $\left(DBC\right)$ vẽ MN cắt CD tại K.

Trong mặt phẳng $\left(ACD\right)$ vẽ PK cắt AD tại Q.

Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta BC\text{D}$, cát tuyến MNK ta có: $\frac{KC}{KD}.\frac{ND}{NB}.\frac{MB}{MC}=1\Rightarrow \frac{KC}{KD}=3$.

Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\frac{KC}{KD}.\frac{QD}{QA}.\frac{PA}{PC}=1\Rightarrow \frac{QA}{QD}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{QA}{AD}=\frac{3}{5}.$, cát tuyến PQK ta có: 

Đặt $V=V_{ABCD}$, ta có:

$\frac{V_{B.APQ}}{V_{B.ACD}}=\frac{S_{APQ}}{S_{ACD}}=\frac{AP}{AC}.\frac{AQ}{AD}=\frac{1}{5}\Rightarrow V_{B.APQ}=\frac{1}{5}{V}_{B.ACD}\Rightarrow V_{B.PQDC}=\frac{4}{5}V.$

$\frac{V_{P.BMN}}{V_{P.BCD}}=\frac{S_{BMN}}{S_{BCD}}=\frac{BM}{BC}.\frac{BN}{BD}=\frac{1}{8}$ và $\frac{V_{P.BCD}}{V}=\frac{S_{CPD}}{S_{ACD}}=\frac{CP}{CA}=\frac{2}{3}\Rightarrow V_{P.BMN}=\frac{1}{12}V$.

$\frac{V_{Q.PBN}}{V_{Q.PBD}}=\frac{S_{PBN}}{S_{PBD}}=\frac{1}{2}$ và $\frac{V_{BQPD}}{V}=\frac{S_{DQP}}{S_{ACD}}=\frac{S_{DQP}}{S_{DAP}}.\frac{S_{ADP}}{S_{ACD}}=\frac{2}{15}\Rightarrow V_{QPBN}=\frac{1}{15}V$.

Suy ra $\frac{V_{AB.MNPQ}}{V}=\frac{V_{A.BPQ}+V_{P.BNM}+V_{Q.PBN}}{V}=\frac{7}{20}\Rightarrow \frac{V_{AB.MNPQ}}{V_{CD.MNPQ}}=\frac{7}{13}.$