Cho S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)

Ta có trục tung có phương trình là: $x=0$.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số $y=x\sqrt{1+x^2}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$ là $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\sqrt{1+x^2}\text{d}x$.
Mặt khác
$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\sqrt{1+x^2}\text{d}x=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+x^2}\text{d}\left(1+x^2\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(1+x^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=\frac{1}{3}\cdot \left(1+x^2\right)\sqrt{1+x^2}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}\cdot$
Biết $S=a\sqrt{2}+b\left(a,b\in \mathbb{Q}\right)$ nên $a=\frac{2}{3}$ và $b=-\frac{1}{3}\cdot$
Vậy $a+b=\frac{1}{3}\cdot$

Chọn đáp án A