Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m

Ta có $3^{x-3+\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-9x^2+24x+m){.3}^{x-3}=3^x+1\iff 3^{\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-9x^2+24x+m)=\frac{3^x+1}{3^{x-3}}$
$\iff 3^{\sqrt[3]{m-3x}}+{(x-3)}^3+m-3x=3^{3-x}\iff 3^{\sqrt[3]{m-3x}}+(m-3x)=3^{3-x}+{(3-x)}^3$(1).
Xét hàm số $f\left(t\right)=3^t+t^3$ với $t\in ℝ$, ta có:$f\text{'}\left(t\right)=3^t\ln 3+3t^2>0,\forall t\in ℝ$.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên R.
Khi đó (1) $\iff f\left(\sqrt[3]{m-3x}\right)=f(3-x)\iff \sqrt[3]{m-3x}=3-x\iff m=-x^3+9x^2-24x+27$.
Pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $y=-x^3+9x^2-24x+27$ có $y\text{'}=-3x^2+18x-24\Rightarrow y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=4\end{array}\right.$.
BBT

Từ bbt suy ra pt(2) có 3 nghiệm phân biệt khi $7<m<11$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{8,9,10\right\}$
Suy ra : $\sum m=27$.

Chọn đáp án C