Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng .

Chọn B

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết về đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho hai điểm $M,N\in \Delta$ và mặt phẳng $\left(P\right)//\Delta$. Khi đó $d\left(M,\left(P\right)\right)=d\left(\Delta ,\left(P\right)\right)=d\left(N,\left(P\right)\right)$

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AB suy ra $SH\perp \left(ABCD\right)$

Ta thấy: $BC//AD\subset \left(SAD\right)\Rightarrow BC//\left(SAD\right)$

$\Rightarrow d\left(C,\left(SAD\right)\right)=d\left(B,\left(SAD\right)\right)=2d\left(H,\left(SAD\right)\right)$

(vì H là trung điểm của AB)

Gọi K là hình chiếu của H lên $SA\Rightarrow HK\perp SA$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}AD\perp AB\\ AD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow AD\perp \left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp HK$

Từ hai điều trên suy ra $HK\perp \left(SAD\right)\Rightarrow d\left(H,\left(SAD\right)\right)=HK$

Tam giác SAB đều cạnh a nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2},HA=\frac{a}{2}\Rightarrow HK=\frac{HA.HS}{SA}=\frac{\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow d\left(C,\left(SAD\right)\right)=2d\left(H,\left(SAD\right)\right)=2.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$