Biết rằng xex là một nguyên hàm của f−x trên khoảng −∞;+∞. Gọi Fx là một nguyên hàm của f'xex thỏa mãn F0=1, giá trị của F−1 bằng

Chọn A

Ta có $f\left(-x\right)={\left(x{\mathrm{e}}^x\right)}^{\text{'}}={\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x$, $\forall x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$.

Do đó $f\left(-x\right)={\mathrm{e}}^{-\left(-x\right)}-\left(-x\right){\mathrm{e}}^{-\left(-x\right)}$, $\forall x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$.

Suy ra $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\left(1-x\right)$, $\forall x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$.

Nên $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left[{\mathrm{e}}^{-x}\left(1-x\right)\right]}^{\text{'}}={\mathrm{e}}^{-x}\left(x-2\right)$$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right){\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^{-x}\left(x-2\right).{\mathrm{e}}^x=x-2$.

Bởi vậy $F\left(x\right)=\int \left(x-2\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2+C$.

Từ đó $F\left(0\right)=\frac{1}{2}{\left(0-2\right)}^2+C=C+2$; $F\left(0\right)=1\Rightarrow C=-1$.

Vậy $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2-1\Rightarrow F\left(-1\right)=\frac{1}{2}{\left(-1-2\right)}^2-1=\frac{7}{2}$.