Cho bất phương trình 9x+m−1.3x+m>01. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 1có nghiệm đúng ∀x lớn hơn bằng 1

Chọn D

Đặt $t=3^x$, $t\left(x\right)$ là hàm đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }t=+\infty$$\Rightarrow$ với $x\in \left[1;+\infty \right)$, thì $t\in \left[3;+\infty \right)$.

Ta có: $\left(1\right)\iff t^2+\left(m-1\right)t+m>0$$\left(2\right)$

Để $\left(1\right)$ có nghiệm đúng $\forall x\ge 1$ thì $\left(2\right)$ có nghiệm đúng $\forall t\ge 3$

$\iff t^2+\left(m-1\right)t+m>0\forall t\ge 3$$\iff t^2-t>-m\left(t+1\right)$$\forall t\ge 3$$\iff \frac{t^2-t}{t+1}>-m$$\forall t\ge 3$$\left(3\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2-t}{t+1}$ có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{\left(2t-1\right)\left(t+1\right)-\left(t^2-t\right)}{{\left(t+1\right)}^2}=\frac{2t^2+t-1-t^2+t}{{\left(t+1\right)}^2}=\frac{t^2+2t-1}{{\left(t+1\right)}^2}$

Với $t\ge 3$, $t^2+2t-1\ge 3^2+2.3-1>0$ nên $f^{\text{'}}\left(t\right)>0$$\forall t\in \left[3;+\infty \right)$$\Rightarrow \underset{\left[3;+\infty \right)}{\min }f\left(t\right)=f\left(3\right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Do đó $\left(3\right)\iff -m<\underset{\left[3;+\infty \right)}{\min }f\left(t\right)=\frac{3}{2}$$\iff m>-\frac{3}{2}$.